Познание мира и математика идут рука об руку. Я сижу за рулём, время идёт монотонно, и расстояние от Москвы постепенно увеличивается, а до дачи уменьшается. Мне приятно, что в арифметике есть уравнение прямой, которое применимо для описания моей ситуации. Активность изотопа монотонно падает во времени, и в математике можно подыскать функцию (экспоненту), которая адекватно опишет эксперимент. День сменяется ночью, а зима летом, и в математике есть синусоида, и множество других периодических функций. Бери - не хочу...
Казалось бы, всё, что в жизни случается, можно количественно описать, используя современную математику.
Однако оказалось, что это не так. Совсем не так.
Позавчера температура на улице была -5о, вчера - -10о, сегодня - -15о. Сколько будет завтра? Математика: -20о. Я выхожу на улице в шубе и валенках, а там - +3о! Снег растаял, кругом ручьи и я в поту. Катастрофа! Куда математика смотрела?! Не смогла!
Мы одиннадцать лет исправно ходим в школу, думаем так будет вечно. И вдруг на тебе: я в армии во флоте, иду в Сирию, или в далёком городе, в институте, пишу с друзьями пульку. Я еду в поезде: день-ночь, день- ночь, из окна дует, но я - в купе и вагон-ресторан есть. Увы! Рельсы кончились. Что дальше? Сидеть на месте, пешком идти, такси вызвать, или лучше корабль? Был холостым, стал женатым, не было детей, народились. Акции компании второй год постоянно растут, я вложил в них все свои средства, компания лопнула. Старился потихоньку, мемуары писать собрался, а тут инфаркт. И всё!
Катастрофа? Катастрофа!
Землетрясения, цунами, извержения вулканов, взрывы АЭС, падающие самолёты, переворачивающиеся корабли, сталкивающиеся автомобили, снежные лавины и сели... Продолжите сами список. Всё это - нарушения стабильности, постоянства, порядка. Нарушения резкие, иногда - мгновенные. Можем ли мы их предсказать или как-то избежать? Нет!
Нас давит страх неизвестности, гнетёт невозможность предсказать будущее. А знать его хочется. Тогда бы мы смогли управлять своей судьбой и судьбой мира. Без опоры на астрологов с их гороскопами и без опасности спадания в хаос.
А что ж математика? Она последние столетия надёжно предсказывала монотонное будущее, считая катастрофы-революции-мировые войны досадными недоразумениями, некоторыми флуктуациями (шумами) на устойчивой в целом картине. Дифференциальное исчисление утверждало, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, причём такими у которых малое изменение аргумента приводит к небольшим изменениям функции. Естественно, что никаких катастроф такая математика описать не могла.
Так продолжалось до конца 19-го века. Но в начале 20-го века ситуация стала меняться.
Математики постепенно занялись неустойчивыми моделями, приводящими к резкому нарушению равновесия. Появились работы, демонстрирующие, что неустойчивости столь же реальны, как и состояния гармонии. Оказалось, что любая система, развиваясь, проходит этапы перестройки, резкого изменения, сопровождающиеся перегруппировкой сил, переустройством равновесия. Эти этапы характеризуются временным преобладанием одной из сил, что приводит к хаосу, разрушающему предыдущие структуры; затем происходит гармонизация, равновесие восстанавливается, но уже в новом, качественно ином состоянии. Обнаружилось множество дифференциальных уравнений, которые вообще не имеют решения! К радости метеорологов математики доказали, что погоду в принципе предсказать невозможно. Впрочем, как и любое другое будущее.
Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф, которая зародилась в рамках теории динамических систем, как союз теории особенностей и динамики. Предмет её не определён, так что основоположники теории катастроф считали её умонастроением, а не теорией в обычном смысле. Таковой она и остаётся до сих пор.
Тем не менее, рассмотрение типичности, структурной устойчивости, способ решения задач математического анализа геометрическими методами оказалось полезным, как для самой математики, так и для ряда её практических приложений.
Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат французскому математику Анри Пуанкаре (1854-1912) (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений), который изобрел топологию (раздел геометрии, который изучает общие свойства любых геометрических фигур) и доказал, что задача взаимодействия трёх тел не имеет решения. Он рассмотрел возможности нерегулярной динамики в детерминированных системах и показал, что незначительные изменения в начальных условиях могут приводить к совершенно непредсказуемым результатам. В его книге «Наука и метод» говорится: «В неустойчивых системах совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительные действия, которые мы не в состоянии предугадать… Предсказание становится невозможным, мы имеет перед собой явление случайное».
Определённый вклад в теорию катастроф сделали А.М. Ляпунов (1857-1918) - структурная устойчивость, А.А. Андронов (1901-1952) - теория бифуркаций динамических систем и общая теория колебаний, тополог Х. Уитни (1907-1989) - особенности гладких отображений и др. Непосредственно теорию катастроф создали Рене Том (1923-2002) - теория особенностей и К. Зиман (1925-) - автор термина "теория катастроф", изобретатель машины катастроф, специалист в области геометрической топологии и теории сингулярности.
Рене́ Фредери́к Том (René Frédéric Thom)— французский математик. Основные направления научных интересов - алгебраическая и дифференциальная топологии. Занимался теорией особенностей, где создал её раздел — теорию катастроф, которую он применял к различным вопросам — от лингвистики до объяснения формы цветков, при этом, в отличие от своих последователей (К.Зимана и др.), Том значительно более осторожен в своих предположениях.
Теория катастроф, как наука, появилась в книге Рене Тома "Структурная устойчивость и морфогенез" (1972). Он использовал топологическую теорию динамических систем, ведущую начало от работ Пуанкаре, для моделирования разрывных изменений в явлениях природы, и особенно в биологии; он указал на важность в этих рассмотрениях требования структурная устойчивость, или нечувствительности к малым возмущениям. Он также отметил, что при некоторых условиях из этого требования вытекает, что изучаемую систему можно описать локально посредством одной из семи стандартных форм - элементарных катастроф.
Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с работами Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Т. Волла, В.И. Арнольда (1937-2010) и его учеников.
Популярность теории катастроф была вызвана заявлениями её апологетов, что по своей значимости теорию катастроф можно сравнить с изобретением математического анализа, и даже говорить о революции в математике.
Целью работ в этом направлении явилось построение динамических систем с иерархической организацией, обеспечивающей устойчивость, взаимодействие со средой и эволюцию. В случае построения конечного числа "элементарных" систем, из которых можно было бы по определённым законам строить более сложные системы и описывать переходы между ними ("катастрофы"), то был бы создан мощный метод анализа самых разнообразных явлений природы (развитие эмбриона, человеческий язык, форма облаков и т.п.). Преимуществом считалось то, что теория не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не “количественно”, а “качественно”, а её результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами. Эту теорию стали применять ко всем нерешённым проблемам: устойчивость кораблей, психические явления, социальные и экономические процессы, химические реакции и т.д. и т.п.
Общественность возбудилась: неужели в нашем распоряжении появилась теория, с помощью которой возможно предсказание любых катастроф?
Реакция не заставила себя ждать: теорию подвергли резкой критике. Например, Г. Б. Колата опубликовал на эту тему статью под названием «The Emperor Has No Clothes» - «А король-то голый!». Математикам теория катастроф понравилась, т.к. она красива, но для инженеров и естествоиспытателей эта теория практически всегда. Например, в открытых системах, а также в большинстве закрытых систем, природные процессы протекают в соответствии с совершенно иными, нежели постулируемые теорией катастроф, закономерностями.
Конечно теория катастроф иллюстрирует, как происходит разрушение моста при критических нагрузках, но беда в том, что, инженеры решили эту проблему задолго до появления этой теории. Устойчивость кораблей и множество других задач были решены и решаются без какого-либо участия теории катастроф. Вот когда они решены, тогда и появляется эта теория, объясняя некоторые аспекты происходящих явлений.
Теория катастроф не позволяет ни предсказывать, ни управлять реальными катастрофами. Пуанкаре умер от случайного аппендицита, Ляпунов застрелился, Тома - скончался от инфаркта. Своей жизнью они доказали бесполезность теории катастроф для практики.
Теория катастроф - это продолжение анализа и его развитие в собственных рамках (а не радикально новое направление). Она применима лишь в ограниченной и очень специальной области. В подавляющем числе случаев - это чисто качественная теория.
Если в эксперименте получена некоторая зависимость, то к ней можно подогнать прямую, рассчитать параметры этой прямой, найти их ошибки, проверить гипотезу линейности и т.п. Ничего подобного сделать с чернобыльской катастрофой, инфарктом или с превращением воды в лёд сделать не удастся. Ни к чему теорию катастроф вы не подгоните, никаких параметров рассчитать не получится, и никаких предсказаний развития событий теория катастроф не даст. Теория катастроф - мышление по аналогии.
Если Вы после автомобильной аварии, в которой вам удалось прервать монотонный пусть своего авто встречей со столбом, лежите в гипсе, и Вас утешает мысль, что в математике есть функция, претерпевающая разрыв в неположенном месте, то Вам сюда, в теорию катастроф.
В принципе, теория катастроф не является чисто качественной, но и количественной её пока не назовёшь.
Физика и химия извлекают из теории катастроф какую-то выгоду, поскольку они имеют дело с "простыми" системами неорганизованной сложности. Организованная сложность биологии представляется объектом изучения в ближайшем будущем, но здесь уже понадобится вся теория динамических систем (имеющая теорию катастроф лишь малой, хотя и существенной составляющей). Применение теории к анализу организованной сложности социальных систем - дело ещё более далёкого будущего.
Единственное направление, где теорию катастроф можно рассматривать, как нечто полезное для практики, это - образование. Надо же что-то краткое писать в зачётке: синергетика, кибернетика, теория катастроф, либо что-то ещё такое же умное...
Понятно, что вопль студента, вылетающего из аудитории: "Спихнул катастрофы!", гораздо эффектней идентичной по смыслу фразе: "Сдал экзамен по теории особенностей вещественнозначных гладких функций и топологии динамических систем".
В данном курсе лекций мы рассмотрим основные особенности теории катастроф, а затем попытаемся применить эту математику для описания реальных катастроф, аварий, революций, бунтов и других катаклизмов. Разовьём концепцию риска.
Может, что и получится.