И.Н. Бекман

ФРАКТАЛЫ

Курс лекций

Предисловие

"Курица" - множество Мандельброта

В 1953 году я понял, что прямая линия ведёт человечество к упадку.
Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия – это нечто
трусливое, прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений;
это линия, не существующая в природе. И на этом насквозь
прогнившем фундаменте построена наша обречённая цивилизация.
Ф. Хундертвассер.

Окружающий нас мир состоит из предметов различной формы и процессов, как периодических, так и случайных. Далеко не все из них способна описать современная математика. Хотя определённый прогресс наметился - помимо трёх старых геометрий (геометрия Эвклида, Римана и Лобачевского) появилась геометрия фракталов, вовлекшая в количественных анализ целый ряд объектов исследования, которые одновременно характеризуются ломаной линией и самоподобны).

Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в "Началах" Евклида (III век до н.э.). Аксиомы Евклида носят очевидный характер: от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой; из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; прямые углы равны между собой; параллельные прямые не пересекаются и т.п. Важно, что геометрия Евклида реализуется на поверхностях с нулевой кривизной.

Геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной кривизной - на выпуклых объектах (на сферах). Как известно, на глобусе меридианы (параллельные линии) пересекаются, причём в двух точках: на северном и южном полюсах.

Геометрия Лобачевского реализуется на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной - на вогнутых объектах. В пиале параллельные сходятся в одном полюсе (на дне пиалы) и расходятся на бесконечные расстояния при движении в противоположную сторону.

Все эти геометрии имеют дело с объектами или физическими процессами, которые можно описать гладкими законами или функциями, которые непрерывны и могут быть продифференцированы в любой точке. Но в природе множество объектов ломаной формы. В этом легко убедиться, взглянув на облака, морозные узоры на стекле, берег моря (особенно в Норвегии) и т.п. Упомянутые математики хорошо пригодны для описания периодических процессов. Но в природе много хаотических явлений, например, возникновение под действием порыва ветра волн на гладкой поверхности озера.

Предложенная Бенуа Мандельбротом в 1975 году геометрия фракталов позволила существенно расширить объекты исследования, распространив математические методы на объекты с чрезвычайно тонкой структурой. Конечно не на все объекты с разрывными (не дифференцируемыми) функциями, а только самоподобные, инвариантные относительно изменения масштаба (т.е. выглядящие одинаково при любой степени увеличения).

Теперь четыре геометрии охватывают широкий набор объектов, то далеко не все. Остальные ждут очередного гения.

Фрактал (fractus - состоящий из фрагментов, ломаный, разбитый) - структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Фрактал - геометрическая фигура с интересными особенностями. Она, например, состоит из частей, представляющих собой уменьшенную (необязательно точную) копию целого. В свою очередь каждая часть разбивается на ещё меньшие копии до бесконечности. Математики говорят: "Бесконечно самоподобная фигура". А самое удивительное - это фигура с дробным числом измерений, то есть не двухмерная и не трёхмерная, а, скажем, 2,76-мерная.

Предлагаемый курс лекций посвящён самоподобию - наиболее важной симметрии из встречающихся в природе. Сначала мы рассмотрим основные идеи фрактальной геометрии и способы построения фракталов различного типа. Затем перейдём к иллюстрации применения фракталов в искусстве (в музыке, но в основном - в живописи, скульптуре и дизайне). Дадим краткий анализ генерации фракталов в сфере математической физики, в частности, их роль в дифференциальных уравнениях в частных производных с дробными степенями. Некоторое внимание уделим фликкер- спектроскопии, включая исследование эффекта интермиттанса. После чего займёмся применением фракталов для моделирования различного рода объектов (деревья, коллоидные частицы и аэрозоли, дендриты, береговая линия моря, плазма и т.п.) и процессов (броуновское движение, миграция, диффузия, перколяция, адсорбция, турбулентность и т.п.). Основная часть курса будет посвящена применению геометрии фракталов в математике, физике, химии, материаловедении, биологии, географии, геологии, экологии, экономике, а также для анализа текстов и временных рядов (на примере, цены акций и флуктуации радиационного фона). Закончим мы анализом перспектив развития идейных основ и использования фрактальной геометрии в науке, технике и искусстве.

Конспект подготовлен для магистров МГУ, выбирающих курсы лекций в рамках междисциплинарного образования.